住民税は1月1日現在にお住まいの市町村で課税されますので、1月1日に箱根町に住んでいた方が、2月に他の市町村に転出したとしても、住民税は全額(すべて)箱根町に納めることになります。よって転出先の市町村でその年度の住民税を課税されることはありません。
逆に、年の途中で箱根町に転入した場合は、転入前の市町村に納めることになります。

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